在数码摄影和视频拍摄中，你可能遇到过这样一个令人抓狂的问题：拍摄条纹衬衫或者电脑屏幕时，画面会出现奇怪的波浪纹或彩色条纹。这个“鬼影”，叫做莫尔纹 (Moire fringe)，如图 1(a-b) 所示。当周期性图案 (如网格、条纹、点阵等) 以一定的角度或位置差异重叠时，视觉上会产生更大周期的调制现象，通常呈现波纹或条纹状的干涉图案。前面提及的拍摄莫尔纹，则是拍摄对象的纹理与相机传感器的周期性阵列发生周期调制后产生的干涉条纹。对摄影师来说，这是一个不受欢迎的副产品，虽然看起来因为神奇而美妙。
图 1. (a) 用相机拍摄电视或电脑显示屏幕得到的莫尔图案。(b) 两层一维条纹转角重叠后所产生的莫尔纹。
这样的效应其实在凝聚态物理和材料学科中亦比比皆是。在范德瓦尔斯 (van der Waals, vdW) 二维材料研究中，这个“鬼影”却成了宝贵资源。人们刻意去制造莫尔纹：把两片原子级厚度的薄膜叠加在一起、并相互转动一点点，则一个更大周期的超晶格 (莫尔超晶格) 就出现了。这种通过原子级厚度薄膜扭转而实现的周期性调制，为人工调控材料性质提供了全新的自由度。更大的实空间周期，意味着其布里渊区被折叠得更小，因此原本一个宽的能带 (大带宽) 就可能被切割成一条条的碎带。而每一个小碎带的能带宽度就可能变得非常窄。带宽很窄，就是平带的意思 (flat band)。平带物理，随之就是诸如魔角超导、拓扑态等奇妙的物理。
比起那些躲在倒空间能带里、需要算符和积分才能捉摸的电子性质，实空间里的磁、电纹理与莫尔结构的关系更像一张简单拼图。如图 2(a) 所示。扭转形成的莫尔超晶格，可以看作由许多滑移后的双层结构小块“拼接”而成。对应的磁、电性质可以直接从滑移双层直接映射。这样的局部映射，也是物理人普遍接受的近似。
值得指出，有一部分 vdW 材料的物理性质对堆叠模式极为敏感。层间滑移，能对物理性质进行有效调控。例如，双层氮化硼 (BN) 能够通过滑移翻转铁电极化，启动了所谓“滑移铁电”和随之而来的更为广泛的“滑移物理”探索。在转角超晶格中，堆叠模式受莫尔周期调制。人们自然能够预期，莫尔调制会形成交替排列、极化相反、规则的 AB / BA 模式堆叠铁电畴阵列，如图 2(b) 所示。
再比如，CrI3 的层间磁耦合，能够从菱方堆叠下的铁磁耦合切换到单斜堆叠下的反铁磁耦合。于是，在转角 CrI3 双层中，人们自然就能预料会形成规则的铁磁 - 反铁交替排列的磁畴阵列，如图 2(c) 所示。作为简化描述，以最常用、也最省事的“刚性模型”为出发点：对整个莫尔超晶格，假定两层只是整体相对扭转一下，各层内原子并不发生任何畸变或面内面外位移。在这种理想图景下，堆叠模式平滑过渡，磁、电性质也随之连续变化。换句话说，人们只需查清每种堆叠对应的性质，再按莫尔周期“拼接”起来，就能得到一幅“理想版”的磁、电纹理草图。
这里特别定义指明，所谓的“转角 (n + n) CrI3”(n 是 CrI3 单胞层数目) 所表示的，是两组刚性 CrI3 结构单元于面内相对旋转角度 θtwist 后堆叠在一起，构成转角结构。每一组刚性结构单元，由 n 层 CrI3 单胞层堆叠构成，而单元内的这些单胞层之间被假定没有相对转动。转动，只发生在这两组刚性的、各由 n 层单胞层构成的结构单元之间。这一模型很显然是一种近似，因为很难相信刚性单元之间有相对转动而刚性单元内部却没有任何畸变。不过，对于 vdW 材料，这种近似足够好，因此模型具有较好的普适意义。
答案是：不会。这个答案，对凝聚态物理人而言是有经验可循的！众所周知，对于外延薄膜，结构弛豫是一个经典的问题。这样的过程在莫尔超晶格中也必然发生，因为从能量最低原理出发，能量更低的堆叠模式会“扩张领地”以降低系统总能量。实际上，这种现象已在若干实验中被观察到。
莫尔超晶格的结构弛豫过程，可以用一个简单的模型来理解：局域的堆叠能量 (层内) 形成一张“势能地形图”。原子沿着梯度滑移或畸变，即结构弛豫，以降低堆叠能。而这种滑移引起的形变，又产生了弹性能量 (层内)。这两种能量相互拉扯，最终达到一个微妙平衡，决定了超晶格最终的堆叠形貌。如图 3 所示，转角 BN 双层结构，在弛豫前后有着显著区别：弛豫前堆叠模式的平滑连续过渡，在弛豫后变得具有清晰边界 (大块的 AB、BA 模式堆叠畴和窄窄的畴壁)，这与图 2(b) 实验铁电畴形貌高度吻合。
正因如此，对那些具有铁性 (磁性与铁电性) 的莫尔体系，原本锁定在特定堆叠模式上的磁耦合与铁电极化的空间分布，也将被重新绘制。
存在这种效应，不意味着就一定值得大肆渲染，要看看效应有多大！为看清这个效应到底对真实的材料体系有多大影响，笔者选了转角 CrI3 做详尽的案例分析。CrI3 是最早被实验证实的本征二维铁磁体，其层间磁耦合和滑移铁电极化都强烈依赖于堆叠模式，是研究弛豫效应对莫尔铁性影响的理想材料。
基于对称性考量而进行简化，只需要研究扭转角 θtwist 在 0° ~ 60° 的少层 CrI3，就能涵括所有的转角情况。首先看小转角 (θtwist ~ 0°) 的转角 (1 + 1) CrI3，如图 4(a) 所示：刚性模型预测，反铁磁耦合的 AC / CA 堆叠模式区域，会形成圆形的反铁磁畴 (即磁泡)。微磁模拟也印证了这种预期，如图 4(c) 所示。结构弛豫后 [图 4(b)]，高堆叠能的 CA 堆叠模式区域大幅收缩，低堆叠能的 AB / BA 堆叠模式区域扩张 (关于 A / B / C / A / B / C 等，见图题说明)。磁泡原本宽阔的“领地”被挤压成狭窄的“夹缝” (半宽 d = 23 Å)，远小于形成稳定磁泡所需的最小空间 (~ 31 Å)。最终，预期的磁泡彻底消失，体系变成纯铁磁序，如图 4(d) 所示。也就是说，转角 (1 + 1) CrI3 配置，在任何转角下都无法提供足够的空间来容纳磁泡，如图 5(a) 所示。这也解释了对转角 (1 + 1) CrI3，先前的刚性模型工作所预测磁泡阵列为何在实验上未被发现。
图 4. 0.99° 转角 (1 + 1) CrI3 的层间磁耦合和磁结构。 (a) 刚性模型和 (b) 结构弛豫后的层间磁性耦合分布。(c) & (d) 对应的微磁模拟得到的自旋纹理。层间磁性耦合的正值和负值分别是反铁磁和铁磁的层间耦合。紫色虚线 的边界。一些高对称堆叠模式：AA ：上下层 CrI3 无相对滑移；AB / BA：上下层相对滑移 (1/3, 2/3) / (2/3, 1/3)；AC / CA：上下层相对滑移 (1/3, 0) / (2/3, 0)，相对滑移以分数坐标量化。
那是否可以让消失的磁泡再现呢？用转角 (2 + 2) CrI3 作为研究对象，对转角 (3 + 3) CrI3 等也可做类似分析。在转角 (2 + 2) CrI3 和转角 (3 + 3) CrI3 的实验中，确实观察到了磁泡 [参见 Nat. Commun. 15, 4982 (2024); Science 374, 1140 (2021)]。在这些多层结构中，层间的堆叠能基本不变，但层内的弹性模量则显著、成倍地增加，导致结构更难因堆叠能的起伏而变形。这种物理机制天然抑制了弛豫过程，令晶体结构更接近刚性模型假设下的状态。因此，留给磁泡的空间足够大，磁泡就会再次活过来，如图 5(c) & 5(d) 所示。有趣的是，由于转角界面之外的层间磁耦合太弱，磁泡只可以形成在转角界面的任意一层。调控磁泡的位置，可以作为一个比特单位来使用。随着转角增大，超晶格周期反而越小，所以如果想在单位面积内获得最大的磁泡密度，转角理应尽量接近阈值角度。
随着转角增大到接近 60° 时，滑移铁电就变成了讨论物理的主角。60° 转角堆叠称为 AA 堆叠，也相当于 180° 转角，因此 AA 及其层间滑移后所产生的堆叠模式也称为反向堆叠。AA 堆叠是非极性、非中心对称的晶体结构，层间滑移可以产生铁电极化，而 0° 的 AA 堆叠是中心对称的堆叠模式，无法通过滑移破坏中心对称性。极性堆叠 (AC、CA) 拥有最低的堆叠能，在结构弛豫后这些铁电畴面积得到扩大。并且极化以 AA、AB、BA 堆叠为中心成了拓扑绕数明确的涡旋与反涡旋结构，如图 6(b) & 6(c) 所示。与“玻璃心”的磁泡不同，得益于拓扑不变性，这些铁电涡旋在不同转角、结构弛豫甚至电场作用下，整体拓扑结构依然保持完整，显示出其极强的鲁棒性。即使在转角 (2 + 2) CrI3 或转角 (3 + 3) CrI3 多层结构中，虽然结构弛豫效应被抑制，外加体积增大，导致极化强度有所降低，但铁电涡旋的拓扑特征基本不变。
图 6. (a) AA 堆叠的转角 (1 + 1) CrI3 中的部分对称元素。任意的层间滑移会部分或完全破坏这些对称性而诱导出滑移铁电。(b) 刚性和 (c) 结构弛豫后 59.01° 转角下的转角 (1 + 1) CrI3。 (d) 结构弛豫后，59.01° 转角 (1 + 1) CrI3 的能量分布图及部分对称元素。AA、AB 和 BA 堆叠处存在三重旋转对称性，其周围的铁电极化围绕这些中心“打圈”而呈现涡旋纹理。逆时针方向观察 AB 和 BA 堆叠周围一圈，铁电极化是顺时针旋转了一圈的，因此这些涡旋绕数为 1。同理，AA 周围的铁电极化逆时针旋转了两圈，其涡旋绕数为 -2。
图 7. 转角 CrI3 的磁、电相图。图中展示了不同转角和堆叠厚度下 (a) 磁泡密度、(b) 极化率 (χ) 的形态和分布。θtwist 是转角，(n + n) 表示转角 (n + n) CrI3 结构。
作为总结，笔者将转角 CrI3 的磁、电相图总结于图 7 中。相图清晰地描绘了磁泡的生存区间 (受转角与厚度影响) 和铁电涡旋在接近 60° 时的稳定性。尽管笔者在这个研究中聚焦于 CrI3，但研究的动机更多是为了抛砖引玉：莫尔超晶格从来都不只是“叠一叠、扭一扭”就好了，结构弛豫是普遍存在的。堆叠能的分布决定了弛豫后哪些性质会凸显、哪些会被抑制。理解并掌控弛豫过程，才能真正看到莫尔超晶格的“真面目”，并精准调控和利用其中新奇物性。
最后指出，本文描述可能多有不周之处，敬请读者谅解。这一工作，刚刚发表在《Physical Review Letters》上。对详细内容感兴趣的读者，可点击文尾的“阅读原文”而御览一二。
(2) 小文标题“生存与毁灭：铁性莫尔纹”乃宣传式的言辞，不是物理上严谨的说法。这里只是展示二维磁性和铁电材料中，莫尔超晶格堆叠结构的弛豫将会很显著地、甚至是致命地改变体系的物理效应。
(3) 文底图片和小词由编辑 Ising 配置。图片拍摄自深圳盐田海滨 (20250515)，是水墨诗画弛豫的意象。小词 (20250727) 原本是写《水墨兰亭》的气象，这里被用来描述二维莫尔超晶格条纹中的弛豫物理，竟然亦很受用。小词标题亦由“陶诗瓷画”改成“豫诗弛画”。
(4) 封面图片来自笔者研究成果，展示了转角双层 CrI3 在刚性模型和结构弛豫后的磁、电纹理。
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